Степени и корни

Как считается

Степень и корень — это один и тот же факт с двух сторон: 2¹⁰ = 1024, а корень десятой степени из 1024 равен 2. Есть и третья сторона того же равенства — логарифм, который ищет показатель; он живёт на отдельной странице, и ссылка на неё внизу.

Пример расчёта

Извлечём квадратный корень из 72 и запишем ответ так, как его примут в тетради.

Раскладываем 72 на простые

2³ · 3²

Двойка: 3 ÷ 2 = 1 целая, остаток 1

наружу 2, внутри 2

Тройка: 2 ÷ 2 = 1 целая, остаток 0

наружу 3, внутри ничего

Наружу вышло 2 × 3

6

Под знаком осталось

2

Ответ

6√2

Проверка: 6² · 2

72

Приближённо

8,485

Ответ — 6√2, а не 8,485. Приближённое число в тетради обычно не принимают, потому что это округление, а не значение: √2 иррационален, и никакая десятичная запись его не выражает. Правило вынесения простое — сколько раз степень множителя делится на степень корня, столько его копий уходит наружу.

Что влияет на результат

• Разложение подкоренного. Вся работа по вынесению множителя — это разложение на простые. Если оно сделано неверно, ответ будет неверным, а проверка обратным возведением в степень поймает это сразу.
• Чётность степени корня. Корень чётной степени из отрицательного числа не существует: любое число в чётной степени неотрицательно. А вот кубический корень из −8 равен −2, и это законно.
• Скобки у отрицательного основания. (−2)⁴ = 16, а −2⁴ = −16. Без скобок сначала возводят в степень и только потом ставят знак — на этом теряют баллы чаще, чем на самих вычислениях.
• Дробный показатель. Знаменатель показателя даёт степень корня, числитель — степень подкоренного: a в степени 2/3 это кубический корень из a². Отрицательное основание в дробной степени в школьном курсе не определено.
• Свойства степеней. При умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются. Но всё это только для одинаковых оснований: 2³ · 3² свернуть нельзя.
• Размер подкоренного числа. На разложение оно влияет мало: перебор идёт до квадратного корня, поэтому даже миллиард раскладывается мгновенно. А вот у корня из простого числа выносить нечего в принципе, сколько бы оно ни было.

Частые вопросы

Как вынести множитель из-под корня

Разложить подкоренное на простые множители и посмотреть на показатели. Из каждой степени наружу уходит целая часть от деления показателя на степень корня, а остаток остаётся внутри. Для √72 = √(2³ · 3²): у двойки 3 ÷ 2 даёт одну целую и остаток, значит одна двойка выходит и одна остаётся; у тройки 2 ÷ 2 делится нацело, и она выходит целиком. Итого 6√2.

Почему нельзя записать ответ приближённо

Потому что 8,485 — это не значение корня, а округление. √2 иррационален: его десятичная запись бесконечна и непериодична, поэтому любая конечная запись неточна. В ответе оставляют радикал, и это не педантизм: в дальнейших вычислениях 6√2, возведённое в квадрат, даёт ровно 72, а 8,485 — уже нет.

Что такое степень с отрицательным показателем

Единица, делённая на ту же степень с положительным показателем: 2⁻³ = 1 ÷ 2³ = 1/8. Правило выводится из деления степеней: a³ ÷ a⁵ равно a в степени 3 − 5, то есть a⁻². И то же самое равно единице делить на a², если сократить дробь напрямую.

Почему любое число в нулевой степени равно единице

Потому что aⁿ ÷ aⁿ равно единице — любое число, делённое на себя. Но по правилу деления степеней это же выражение равно a в степени n − n, то есть a⁰. Значит a⁰ = 1. Исключение одно: ноль в нулевой степени не определён, потому что рассуждение потребовало бы деления нуля на ноль.

Можно ли извлечь корень из отрицательного числа

Чётной степени — нет, нечётной — да. Квадратный корень из −9 не существует: нет такого числа, квадрат которого отрицателен. А кубический из −8 равен −2, потому что (−2)³ = −8. Правило простое: минус проходит сквозь корень нечётной степени и не проходит сквозь чётный.

Как связаны степень, корень и логарифм

Это три взгляда на одно равенство: 2¹⁰ = 1024. Если неизвестен результат — ищут степень. Если неизвестно основание — корень: какое число в десятой степени даёт 1024. Если неизвестен показатель — логарифм: в какую степень возвести двойку, чтобы вышло 1024. Первые два считаются здесь, третий — на странице логарифмов.

Зачем вообще выносить множитель, если есть калькулятор

Затем, что точное значение не теряется в дальнейших действиях. 6√2, возведённое в квадрат, даёт ровно 72; 8,485 в квадрате — 71,995. На одном шаге разница незаметна, через три-четыре она вылезает в ответе. Плюс в тетради проверяют именно запись, а не число.

Смежные калькуляторы