Тригонометрические функции

Как считается

Третья строка — то, ради чего таблицу и учат. Наизусть помнят значения только для первой четверти, а всё остальное сводят к ней: знак берут по четверти, а сам угол — по формулам приведения.

Пример расчёта

Найдём функции угла 210 градусов.

210 больше 180 и меньше 270

третья четверть

В третьей четверти синус и косинус

отрицательны

Опорный угол: 210 − 180

30°

Приведение

sin 210° = −sin 30°

Синус

−1/2

Косинус

−√3/2

Тангенс: минус на минус

√3/3

В радианах: 210 × π ÷ 180

7π/6

Обратите внимание на тангенс: он положителен, хотя и синус, и косинус отрицательны. Это не исключение, а прямое следствие того, что тангенс — их отношение: минус на минус даёт плюс. В третьей четверти тангенс и котангенс всегда положительны, и запоминать это отдельно не нужно.

Что влияет на результат

• Четверть угла. Задаёт знаки всех четырёх функций. В первой все положительны, во второй только синус, в третьей тангенс и котангенс, в четвёртой косинус. Мнемоника не обязательна: знак синуса — это знак ординаты, знак косинуса — абсциссы, а тангенс их делит.
• Табличность угла. Точные значения есть только у углов, кратных 30 и 45 градусам. Для 37° точного выражения в радикалах не существует, и там честно остаётся десятичная дробь.
• Полные обороты. Угол 750° и угол 30° — это один и тот же поворот, только первый сделал два лишних круга. Поэтому всё сводится к промежутку от 0 до 360 градусов, и расчёт делает это сам.
• Единицы измерения. В школе привычнее градусы, в старших классах и дальше — радианы. Один радиан это примерно 57,3°, а π радиан — ровно 180°. Ошибка с режимом калькулятора — классический способ получить неверный ответ при верном решении.
• Неопределённые значения. Тангенс не существует там, где косинус равен нулю, — при 90 и 270 градусах. Котангенс не существует при 0 и 180. Это не «бесконечность», а именно отсутствие значения.
• Обратные функции. Дают один угол из основного отрезка, а решений у уравнения бесконечно много. В школьном ответе к ним всегда дописывают период: 360° у синуса и косинуса, 180° у тангенса.

Частые вопросы

Почему в ответе пишут √3/2, а не 0,866

Потому что 0,866 — это округление, а не значение. √3 иррационален, его десятичная запись бесконечна, и никакая конечная дробь его не выражает. В школе такой ответ считают неточным, а в дальнейших выкладках он ещё и накапливает ошибку: (√3/2)² даёт ровно 3/4, а 0,866² — уже нет.

Какие углы называют табличными

Кратные 30 и 45 градусам: 0, 30, 45, 60, 90 и дальше по кругу до 330. Именно их значения учат наизусть, потому что они выражаются через квадратные корни. У остальных углов точного выражения в радикалах в общем случае нет, и их считают приближённо.

Как определить знак функции по четверти

Через координаты точки на единичной окружности: синус — это ордината, косинус — абсцисса. В первой четверти обе положительны, во второй абсцисса отрицательна, в третьей обе, в четвёртой ордината. Тангенс и котангенс — отношения этих двух, поэтому в первой и третьей четверти они положительны, во второй и четвёртой отрицательны.

Что такое формулы приведения

Способ свести любой угол к острому. Угол разбивают на «ближайшая ось плюс остаток», берут функцию от остатка и ставят знак по четверти исходного угла. Sin 210° = −sin 30°, cos 150° = −cos 30°. Таблицу приходится помнить только для первой четверти, а остальное получается приведением.

Как перевести градусы в радианы

Умножить на π и разделить на 180. Проще запомнить опорные точки: 180° = π, 90° = π/2, 60° = π/3, 45° = π/4, 30° = π/6. Обратный перевод — умножить на 180 и разделить на π. Расчёт показывает радианы и числом, и долей π: в ответе обычно нужна именно доля.

Почему у тангенса 90 градусов нет значения

Потому что тангенс — это синус, делённый на косинус, а косинус 90 градусов равен нулю. Делить на ноль нельзя, поэтому значения просто не существует. Говорить «тангенс 90 равен бесконечности» неточно: функция не принимает никакого значения, она лишь неограниченно растёт при приближении к 90 градусам.

Почему арксинус даёт только один угол

Чтобы обратная функция была однозначной. Синус принимает одно и то же значение бесконечно много раз, и если бы арксинус возвращал все такие углы, это была бы не функция. Поэтому из всех вариантов выбирают один — на отрезке от −90 до 90 градусов у арксинуса и от 0 до 180 у арккосинуса. В ответе к уравнению остальные решения дописывают через период.

Смежные калькуляторы