Калькулятор теоремы Пифагора

Как считается

Теорема работает только для прямоугольного треугольника. Если прямого угла нет, стороны связаны теоремой косинусов: c² = a² + b² − 2ab·cos γ, и Пифагор — её частный случай при γ = 90°.

Пример расчёта

Катеты 3 и 4, нужно найти гипотенузу.

Возводим в квадрат

3² = 9, 4² = 16

Складываем

9 + 16 = 25

Извлекаем корень

√25 = 5

Площадь: 3 · 4 ÷ 2

6

Периметр

12

Углы

36,87° и 53,13°

Гипотенуза равна 5. Тройка 3-4-5 целочисленная — её называют египетским треугольником, и в учебниках она встречается чаще всех. Другие известные тройки: 5-12-13 и 8-15-17.

Что влияет на результат

• Наличие прямого угла. Без него теорема неприменима — нужна теорема косинусов. Проверить прямоугольность можно обратной теоремой: если a² + b² = c², угол прямой.
• Что именно ищем. Гипотенузу складывают, катет вычитают: c² − a². Перепутать знак — самая частая ошибка в задаче.
• Гипотенуза всегда больше катета. Если по условию она меньше, в данных ошибка.
• Точность. Корень редко извлекается нацело: √13 в ответе обычно оставляют радикалом, а не десятичной дробью.
• Единицы. Любые, лишь бы одинаковые — теорема их не различает.

Частые вопросы

Как звучит теорема Пифагора

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. То есть площадь квадрата, построенного на длинной стороне, равна сумме площадей квадратов на двух коротких — именно так её и доказывают геометрически.

Как найти катет, если известны гипотенуза и другой катет

Вычесть: b = √(c² − a²). Например, при гипотенузе 5 и катете 3 получается √(25 − 9) = √16 = 4. Главное не перепутать: гипотенузу находят сложением квадратов, катет — вычитанием.

Что такое пифагоровы тройки

Наборы из трёх целых чисел, для которых теорема выполняется точно: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. Их полезно узнавать в лицо — в задачах они встречаются постоянно, и считать ничего не нужно. Кратные им тройки вроде 6-8-10 тоже подходят.

Как проверить, прямоугольный ли треугольник

Обратной теоремой: возьмите самую длинную сторону, возведите в квадрат и сравните с суммой квадратов двух других. Совпало — угол прямой. Этим приёмом на стройке размечают прямые углы, отмеряя 3, 4 и 5 метров.

Как найти углы прямоугольного треугольника

Через тангенс: тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Второй острый угол получается вычитанием из 90°, потому что сумма всех углов треугольника равна 180°, а один из них уже прямой.

Работает ли теорема для любого треугольника

Нет, только для прямоугольного. В общем случае действует теорема косинусов: c² = a² + b² − 2ab·cos γ. При γ = 90° косинус обращается в ноль, последнее слагаемое исчезает, и остаётся ровно Пифагор.

Смежные калькуляторы