Калькулятор квадратных уравнений

Как считается

Знак дискриминанта отвечает на вопрос «сколько корней» раньше, чем вы их найдёте. Поэтому в решении его пишут первым — и по нему сразу видно, есть ли смысл считать дальше.

Пример расчёта

Решим x² − 5x + 6 = 0.

Коэффициенты

a = 1, b = −5, c = 6

Дискриминант: (−5)² − 4 · 1 · 6

25 − 24 = 1

Корень из дискриминанта

√1 = 1

x₁ = (5 + 1) ÷ 2

3

x₂ = (5 − 1) ÷ 2

2

Виета: сумма

3 + 2 = 5 = −b/a

Виета: произведение

3 · 2 = 6 = c/a

Корни 3 и 2, проверка по Виета сходится. Разложение на множители: (x − 3)(x − 2). Для приведённого уравнения, где a = 1, такие корни часто быстрее подобрать устно, чем считать дискриминант.

Что влияет на результат

• Знак коэффициента b. При подстановке в формулу его берут вместе со знаком: для b = −5 дискриминант считается как (−5)², а корни начинаются с +5.
• Нулевой старший коэффициент. При a = 0 уравнение перестаёт быть квадратным: остаётся линейное с одним корнем, и дискриминант не нужен.
• Неполные уравнения. При b = 0 или c = 0 корни находят проще: выносят x за скобку или переносят число вправо и извлекают корень.
• Точность. Если дискриминант не полный квадрат, корни иррациональны — в ответе их обычно оставляют с радикалом, а не в виде десятичной дроби.
• Теорема Виета. Работает как проверка всегда, а как способ решения — когда корни целые и легко подбираются.

Частые вопросы

Что показывает дискриминант

Сколько у уравнения корней. Если он больше нуля — два разных, если равен нулю — один двукратный, если меньше нуля — действительных корней нет. Геометрически это про то, пересекает ли парабола ось x, касается её или проходит мимо.

Что писать в ответе при отрицательном дискриминанте

В школьной программе до десятого класса — «действительных корней нет». Комплексные корни существуют всегда, и калькулятор их показывает, но в младших классах их ещё не проходят и в ответе не пишут.

Как решать, если один из коэффициентов нулевой

При c = 0 выносят x за скобку: x(ax + b) = 0, откуда x = 0 и x = −b/a. При b = 0 переносят c вправо и извлекают корень. Дискриминант в этих случаях считать можно, но дольше.

Когда удобнее теорема Виета

Когда старший коэффициент равен единице и корни целые. Тогда нужно подобрать два числа, дающих в сумме −b, а в произведении c. Для x² − 5x + 6 это 3 и 2, и подбираются они за секунду. В остальных случаях надёжнее дискриминант.

Что такое вершина параболы и зачем она

Точка, где парабола разворачивается: x = −b/2a. Через неё находят наибольшее или наименьшее значение функции — это типовая задача на экстремум. Корни расположены симметрично относительно вершины.

Как разложить квадратный трёхчлен на множители

Через корни: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Если корней нет, на линейные множители с действительными коэффициентами трёхчлен не раскладывается. Калькулятор показывает разложение сразу после корней.

Смежные калькуляторы