Разложение на простые множители

Как считается

Последняя строка выводится прямо из разложения, хотя обычно её дают отдельной формулой. Любой делитель складывается выбором степени для каждого простого множителя: у 2³ можно взять 2⁰, 2¹, 2² или 2³ — четыре варианта. Перемножаем варианты по всем множителям и получаем число делителей.

Пример расчёта

Разложим 360.

360 ÷ 2

180

180 ÷ 2

90

90 ÷ 2

45

45 ÷ 3

15

15 ÷ 3

5

5 ÷ 5

1

Собираем правый столбец

2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5

Записываем степенями

2³ · 3² · 5

Из готового разложения дальше всё достаётся почти даром. Делителей у числа (3+1)(2+1)(1+1) = 24 — и это ровно длина списка, который калькулятор показывает ниже. Сумма всех делителей тоже считается по разложению: (1+2+4+8)(1+3+9)(1+5) = 15 · 13 · 6 = 1170.

Что влияет на результат

• С какого множителя начинать. Всегда с наименьшего простого — с двойки. Если начать с большого, разложение получится то же самое, но лесенка выйдет длиннее и запутаннее, а в контрольной за такое снижают.
• Признаки делимости. Они и подсказывают, на что делить. На 2 — если последняя цифра чётная; на 3 — если сумма цифр делится на 3; на 5 — если число оканчивается на 0 или 5; на 9 — если сумма цифр делится на 9.
• Когда останавливаться при проверке на простоту. Достаточно перебрать делители до квадратного корня: если делителя меньше корня нет, то нет и большего. Для 97 хватит проверить 2, 3, 5 и 7 — дальше корня уже нет смысла.
• Единица. Не простое число и не раскладывается. Это соглашение, а не каприз: считай единица простой, разложение перестало бы быть единственным — к нему всегда можно было бы дописать сколько угодно единиц.
• Точные квадраты. У них нечётное число делителей, и это единственный случай, когда так бывает. Делители ходят парами вокруг корня, а у самого корня пара — он сам.
• Размер числа. Перебор идёт до квадратного корня, поэтому даже миллиард раскладывается мгновенно. А вот числа в сотни цифр так не раскладываются — на этом стоит вся современная криптография.

Частые вопросы

Как разложить число на простые множители

Делить на наименьший простой множитель, пока не останется единица. Начинают с двойки: делится — делим ещё раз, не делится — переходят к тройке, потом к пятёрке и дальше по простым. В тетради это пишут лесенкой: слева число, справа за вертикальной чертой множитель. Правый столбец в конце и есть ответ.

Как понять, на что делится число

По признакам делимости. На 2 делятся числа с чётной последней цифрой, на 5 — оканчивающиеся на 0 или 5, на 10 — на ноль. На 3 делится число, у которого сумма цифр делится на 3; на 9 — если сумма цифр делится на 9. У 360 сумма цифр 9, поэтому оно делится и на 3, и на 9.

Как узнать, простое ли число

Перебрать простые делители до квадратного корня из него. Если ни один не подошёл, число простое. Дальше корня проверять бессмысленно: если бы у числа был делитель больше корня, у него обязательно нашёлся бы и парный меньше корня. Для 97 достаточно проверить 2, 3, 5 и 7 — корень из 97 меньше десяти.

Почему единица не считается простым числом

Из-за единственности разложения. Основная теорема арифметики говорит, что каждое число раскладывается на простые ровно одним способом. Если признать единицу простой, это сломается: к любому разложению можно было бы дописать единицу сколько угодно раз. Проще договориться, что единица не простая и не составная — она стоит особняком.

Как посчитать количество делителей числа

Увеличить каждый показатель степени на единицу и перемножить. У 360 = 2³ · 3² · 5 это (3+1)(2+1)(1+1) = 24. Логика простая: любой делитель — это выбор степени для каждого простого множителя. Двойку можно взять в степени от нулевой до третьей, то есть четырьмя способами, тройку — тремя, пятёрку — двумя.

Зачем вообще нужно разложение на множители

Из него сразу получаются НОД и НОК, сокращаются дроби, выносятся множители из-под корня и считаются делители. Все эти задачи сводятся к одному действию, и потому раскладывать учат в шестом классе — дальше это будет нужно постоянно.

Что такое совершенное число

Такое, у которого сумма собственных делителей равна ему самому. Первое — 6: единица плюс два плюс три. Второе — 28: 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Дальше идут 496 и 8128, и таких чисел известно всего полсотни. Все известные совершенные числа чётные, а есть ли хоть одно нечётное — не выяснено до сих пор.

Смежные калькуляторы