Калькулятор логарифмов

Как считается

Третья строка — единственная формула, которую нужно помнить. На любом калькуляторе есть только ln и lg, а через них считается логарифм по какому угодно основанию: делением одного на другой. Причём делить можно на что угодно, лишь бы сверху и снизу было одно и то же.

Пример расчёта

Найдём логарифм 1024 по основанию 2.

Вопрос

2 в какой степени даёт 1024?

Считаем степени двойки

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024

Сколько раз умножали

10

Ответ

log₂ 1024 = 10

Через натуральный: ln 1024 ÷ ln 2

6,931472 ÷ 0,693147 = 10

Проверка

2¹⁰ = 1024

Ответ целый, потому что 1024 — точная степень двойки. Это тот же факт, что и на соседней странице: 2¹⁰ = 1024, корень десятой степени из 1024 равен 2, а логарифм 1024 по основанию 2 равен 10. Три записи одного равенства, в которых по очереди неизвестны результат, основание и показатель.

Что влияет на результат

• Основание. Должно быть положительным и не равным единице. Единица не годится потому, что в любой степени даёт единицу: уравнение 1ˣ = 8 решений не имеет, а 1ˣ = 1 имеет их бесконечно много.
• Число под логарифмом. Строго больше нуля. Логарифм нуля и отрицательного числа не определён: положительное основание в любой степени остаётся положительным.
• Целый ответ. Получается тогда и только тогда, когда число — точная степень основания. Log₂ 1024 = 10 ровно, а log₂ 1000 уже 9,9658 — и никакой красивой записи у него нет.
• Выбор основания на калькуляторе. Кнопок обычно две: ln и lg. Всё остальное считается формулой перехода, и результат не зависит от того, через какой из них вы пошли.
• Основание меньше единицы. Логарифм существует и по такому основанию, но ведёт себя наоборот: чем больше число, тем меньше логарифм. В школьных задачах такое встречается, и знак неравенства при решении приходится переворачивать.
• Порядок величины. Десятичный логарифм показывает, сколько в числе цифр: у lg 1000 он равен трём, у любого четырёхзначного лежит между тремя и четырьмя. Отсюда и привычка измерять всё в логарифмах — от децибел до звёздных величин.

Частые вопросы

Что такое логарифм простыми словами

Это ответ на вопрос «в какую степень возвести основание, чтобы получить это число». Логарифм 1024 по основанию 2 равен 10, потому что 2¹⁰ = 1024. Если возведение в степень — это умножение числа на себя, то логарифм считает, сколько раз это умножение произошло.

Чем отличаются ln, lg и log

Только основанием. Ln — натуральный, по основанию e ≈ 2,71828. Lg — десятичный, по основанию 10. Log без уточнения обычно записывают с указанием основания внизу: log₂, log₅. В программировании log часто означает натуральный, и на это стоит смотреть отдельно.

Как посчитать логарифм по любому основанию на обычном калькуляторе

Формулой перехода: разделить логарифм числа на логарифм основания, взятые по одному и тому же основанию. Log₂ 1024 = ln 1024 ÷ ln 2 = 6,931 ÷ 0,693 = 10. Через lg получится ровно то же: 3,0103 ÷ 0,30103 = 10. Какой из двух брать — безразлично, лишь бы сверху и снизу был один и тот же.

Почему основание не может быть единицей

Потому что единица в любой степени остаётся единицей. Уравнение 1ˣ = 8 решений не имеет вовсе, а 1ˣ = 1 имеет их бесконечно много — значит функция не однозначна ни в том, ни в другом случае. По той же причине основание должно быть положительным: у отрицательного степени скачут между плюсом и минусом.

Почему логарифм отрицательного числа не существует

Потому что положительное основание в любой степени остаётся положительным. Нет такого показателя, при котором двойка дала бы минус восемь: чётные степени дают плюс, нечётные тоже плюс, раз само основание положительное. В школьном курсе на этом всё и заканчивается; в комплексных числах логарифм отрицательного определяют, но иначе.

Зачем логарифмы нужны на практике

Они превращают умножение в сложение — именно ради этого их и придумали за три века до калькуляторов. Сегодня на них держатся шкалы, где величины различаются в миллионы раз: децибелы для звука, pH для кислотности, магнитуда землетрясений, звёздные величины. И оценка сложности алгоритмов тоже: log₂ показывает, сколько раз массив можно поделить пополам.

Как связаны логарифм, степень и корень

Это три взгляда на одно равенство b в степени y = x. Если неизвестен результат, ищут степень. Если неизвестно основание — корень. Если неизвестен показатель — логарифм. Поэтому степени и корни живут на соседней странице, а понимать их удобнее вместе.

Смежные калькуляторы